新智元报道
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【新智元导读】2017年，首位女性菲尔兹奖得主Mirzakhani因病离世，年仅40岁；2025年，两位女数学家接力，成功证明几乎去所有双曲曲面具备1/4谱隙！
她的名字叫Maryam Mirzakhani，1977年生于伊朗德黑兰，斯坦福大学数学系教授，2014年8月13日以其「黎曼曲面的动力学和几何及其模空间」方面的工作荣获菲尔兹奖，也是首位获得数学界最高荣誉的女性。
她早期的研究领域主要是「双曲」曲面（hyperbolic surfaces），在这个空间中，平行线不再保持相同的距离，而是彼此弯曲远离，在每一个点上，曲面都像马鞍一样向两个相反的方向弯曲，大概可以理解成「甜甜圈的表面」。
双曲曲面在弦理论等领域至关重要，但由于奇特的几何性质，无法直观地描绘这种图形。
密歇根大学数学家、Mirzakhani的博士后Alex Wright解释，双曲曲面就像永远拼不完的拼图，每个碎片都是马鞍形，局部可以拼接，但在三维空间里永远无法闭合。
正是这种特性让双曲曲面的研究之路充满荆棘，许多基础问题至今仍是未解之谜。
Mirzakhani在研究生期间，创造性地将动力系统理论与泰希米勒空间结合，为无法直观想象的双曲曲面建立了分类法则。
就在她准备在双曲领域继续施展才华之际，被诊断出患有乳腺癌，于2017年7月14日去世，年仅40岁。
Laura Monk (左)，Maryam Mirzakhani（中间），Nalini Anantharaman（右）
但数学之火没有熄灭，法兰西公学院（Collège de France）的Nalini Anantharaman和布里斯托大学的Laura Monk在此基础上，继续证明了一个关于「典型双曲曲面」的通用结论：曾经被认为罕见甚至不可能存在的曲面，实际上是非常常见的。随机挑选一个双曲曲面，仍然具有某些关键特性。
论文链接：https://arxiv.org/pdf/2502.12268
普林斯顿大学的数学家Peter Sarnak认为这是「这是里程碑式的研究成果」，双曲曲面比之前想象的要更加奇怪且不直观。
今天，我们将重温这段「三位数学女性」的学术接力故事。
「她」的数学王国
Mirzakhani 最初梦想成为一名作家，后来决定成为一名数学家。
1999年从谢里夫理工大学毕业后，她远赴哈佛攻读研究生，在那里与双曲几何结下不解之缘，这位喜欢涂鸦的数学家痴迷于挑战那些理论上无法绘制的形状。
数学家们通过研究曲面上的闭合测地线来破解谜题，这些最短路径环形态万千，曲面上的孔洞越多，测地线（geodesics）就越复杂。
计算特定长度的测地线数量，就成了理解曲面全貌的关键。
Mirzakhani对此问题近乎痴狂，在学术讨论中总会反复提起这些曲线，平日的内敛在此时全然消散，在演讲时总会问两个问题：有多少条曲线？都在哪里？（How many curves are there, and where are they?）
在读博期间，年轻的Mirzakhani就开发出了一个突破性公式，能估算任意双曲曲面上特定长度范围内的测地线数量，不仅破解了弦理论著名猜想，更为构建新型双曲曲面指明方向。
获得博士学位后，她在几何学、拓扑学和动力系统领域屡创佳绩，但始终对博士论文课题念念不忘，她渴望深入探索自己分类过的「双曲动物园」。
数学家构建的样本往往「极不典型」，于是Mirzakhani开始随机挑选双曲曲面进行研究。
然而天妒英才，这位数学女王未及深入便溘然长逝。
她刚锻造好研究利器，还来不及挥舞便永远放下了。那些神秘的测地线，永远定格在她未完成的拼图里。
数学接力
事实上，在二十岁之前，这个伦敦女孩的人生规划始终定格在三尺讲台——每当数学课的无聊感袭来，她就会化身小老师辅导同学。
「学校生活令人窒息，当助教成了我打发时间的方式。」
在巴黎萨克雷大学攻读硕士时，四十人的班级仅有三位女生。等到临近毕业，她惊觉另外两位女生也计划离开学术界。
「这究竟是个人选择，还是当我们身处极端少数群体时，潜意识早已被环境驯化？」
Monk陷入沉思，看着教室空荡的座位，她突然意识到自己应该成为女学生们的灯塔。
她握紧钢笔在博士申请书上签名，「总得有人站出来，否则就太可悲了」，她的行动也带动了另外一个女生读博。
在教授建议下，Monk踏上了前往斯特拉斯堡的列车。
站台上等待她的是Nalini Anantharaman，这位与Mirzakhani同龄的女性数学家同样游走于多个领域，年轻时也曾在古典钢琴与数学之间徘徊。
2015年伯克利的秋日里，两位母亲的缘分在儿童乐园悄然生长：当她们的孩子在滑梯上嬉戏时，Mirzakhani正悄悄向Anantharaman分享自己正在进行的随机双曲曲面研究。
要理解双曲曲面的奥秘，数学家发明了「谱隙」（spectral gap）这把量尺，数值越大，曲面连通性越强，就像迷宫里的蚂蚁，在连通性强的曲面能自由探索每个角落，而在哑铃状的曲面则可能困守一端。
尽管数学家们在2021年才破解构建高谱隙曲面的密码，但学界普遍相信：在浩瀚的双曲宇宙中，大多数曲面都具有1/4的极致连通性。
这正是Anantharaman想交给新弟子的世纪难题。
Monk望着办公室墙上Mirzakhani的相框，在晨光中签下研究协议，「既然选择读博，就要触摸学术的穹顶。」
撰写续集
她首先花了数月时间啃噬前辈留下的数学手稿——那些未竟的双曲曲面研究如同密码，需要破译才能继续开展研究。
已知的关键在于：只要精确计算曲面上所有闭合测地线（即Mirzakhani毕生痴迷的那些循环路径）的数量，就能推导出谱隙数值，这对师徒的目标是证明当曲面孔洞数量趋近无穷时，具有1/4最优谱隙的曲面占比将无限接近100%
她们以Mirzakhani的博士论文公式为起点，这个公式虽能计算大部分测地线，却遗漏了像「8」字型环绕两个孔洞的自交叉路径。
「就像拿着不完整的藏宝图，但当我们用它做初步估算时，竟意外算出了较大的谱隙值，简直像魔法般神奇。」
Anantharaman至今仍觉得这个公式的神奇奏效不可思议。
某个深夜，Anantharaman突然想起2015年收到的一封邮件，彼时Mirzakhani在信中连发数问，字字指向谱隙与测地线计数的深层关联。
「当时我完全不解其意，如今看来，她或许早就在构思同样的研究路径。」
Monk将博士时光倾注于拓展公式的应用范围，试图破解更复杂的测地线计数难题。
她像古籍修复师般整理着前辈的数学遗产，将那些手稿边角处惊鸿一瞥的灵感转化为严谨证明。
「有些思想就像被匆忙封存的时光胶囊，需要有人替她向世界讲述。」
2021年，随着新型计数公式的诞生，这对师徒终于能触碰所有类型的测地线。数学界屏息等待她们冲击1/4的终极目标，但意外来了，就像攀登者距离峰顶百米时遭遇暴风雪，她们发现想要解决最后一步需要全新的数学工具。
「我们被卡在了黎明前的黑暗里。」
破壁时刻
虽然这类复杂结构仅存于少数特殊曲面，但一旦出现就会密集增生。若将其计入总数，谱隙计算结果将严重偏离预期，就像调音师被杂音干扰，始终弹不出1/4的完美和弦。
「我们仿佛被困在玻璃穹顶之下，看得见星空却触不可及。」蒙克在博士论文终稿截止前三个月写道。
此时两则重磅论文相继发表：三个独立团队分别证明了3/16的谱隙值。
消息震动学界，却让实验室更显沉寂，Anantharaman仍执着于终极目标1/4，眼中燃烧着与Mirzakhani相似的光。
Anantharaman开始转向数学中的另一个领域「图论」，二十年前，数学家Joel Friedman证明了大多数图（在数学中无处不在的顶点和边的集合）都具备最优连通性，其精妙之处在于创造性地剔除了那些带有「病态路径」的图，正如Monk想从双曲曲面中剔除的混沌结。
2022年5月，Anantharaman和Monk邀请Friedman组织了一个研讨会，虽然将Friedman的方法转化为适用于双曲面的方法将非常困难，但她们无疑已经找到了「拼图」的最后一块。
2023年初春，Monk与导师在《数学年刊》投出里程碑式论文，将谱隙纪录刷新至2/9，但这只是一份「期中答卷」。
论文链接：https://arxiv.org/abs/2304.02678
直到最近，当她们将Friedman的图论秘钥插入双曲几何的锁孔，期待中的1/4的完美数值终于得到证明，将为数论与动力系统领域带来巨大突破。
七年钻研，Monk与已故的Mirzakhani完成了一场跨越时空的学术对话。
Monk从未看过Mirzakhani的录像讲座，宁愿让她在心中保持一点神秘感，抚摸泛黄的论文手稿，那些微分符号仿佛带着故人的温度。
「我从未听过她的声音，却在公式间读懂她的呼吸。」
恍惚间，实验室的夜风吹过风铃，Monk仿佛听到一声轻笑。
（文：新智元）