作者：Leila Sloman
机器之心编译
加法，这项我们从幼儿园就掌握的运算，竟然蕴藏着未解之谜。
它是一项简单的运算：我们学到的第一个数学真理便是 1 加 1 等于 2。但加法能够产生的各种模式仍存在很多未解之谜。
在探索这个谜团的过程中，数学家们也希望了解加法能力的极限。自 20 世纪初以来，他们一直在研究 「无和集」（sum-free set） 的性质。
无和集指的是这样一个整数子集：其中任意两个元素的和，不属于这个集合本身。例如，奇数集合就是一个典型的无和集。因为任意两个奇数相加得到偶数，不在集合内。
自 1965 年起，传奇数学家 Paul Erdős（保罗・爱多士，为现时发表论文数最多的数学家，多达 1525 篇，曾和 511 人合写论文）在一篇论文中提出了一个关于无和集普遍性的简单问题 ：一个整数集合中，最大的不含任意两数相加结果的子集究竟能有多大？
此后数十年，这个看似简单的问题却困住了无数数学家。
直到今年二月，在 Erdős 提出该问题的六十年后，终于被牛津大学博士生 Benjamin Bedert 破解了。
Bedert 证明了对于任意包含 N 个整数的集合，存在一个无和子集，其大小至少为 N/3 + log (log N)。 这一结果首次严格证明了最大无和子集的大小确实会超过 N/3， 并随 N 增长而增大，从而解决了 Paul Erdős 的猜想。
他的证明深入数学本质，通过融合不同领域的技巧，不仅揭示了无和集的隐藏结构，更为其他各类数学场景提供了新见解。
Benjamin Bedert—— 这位牛津大学的博士生 —— 解决了一个困扰数学界数十年的难题，该难题从根本上检验了加法在集合中的作用机制。
进退维谷的证明过程
Erdős 发现，任何整数集合都必然包含一个更小的无和子集。以集合 {1, 2, 3} 为例（它本身并非无和集，因为它包含两个数的和仍属于该集合），其中就存在五个不同的无和子集，比如 {1} 和 {2, 3}。
这位数学大师试图探究这一现象的普遍规模：如果一个集合包含一百万个整数，其最大无和子集的规模究竟有多大？
Paul Erdős
在多数情况下，这个子集大得惊人。如果随机选取一百万个整数，其中约半数会是奇数 —— 这就能形成一个约 50 万元素的无和子集。
在 1965 年的论文中，Erdős 用短短数行完成了一个被数学家们誉为天才之作的证明：任何包含 N 个整数的集合，都必然存在一个至少包含 N/3 个元素的无和子集。
然而他并不满足于此。该证明基于平均值原理：他构造了一系列无和子集，并计算出其平均规模为 N/3。但数学界普遍认为，在这类集合族中，最大子集的规模理应远超平均值。
Erdős 希望量化这些超大无和子集的具体规模。数学家们很快提出猜想：随着集合规模 N 的增大，最大无和子集的尺寸将显著超过 N/3。更准确地说，其偏差值会无限增长。这一预测 —— 即最大无和子集的规模等于 N/3 加上一个随 N 趋向无穷大的偏差项 —— 如今被称为无和集猜想（sum-free sets conjecture）。
Erdős 在原始论文中写道：这个看似简单的问题竟存在如此大的难度，实在令人惊讶 —— 或许我们忽略了某些显而易见的解法。
然而数十年间，「显而易见的解法」始终未曾浮现。无人能突破 Erdős 证明的边界。「这个简单界限长期无人能改进，使得该问题在学界的分量愈发凸显。」Bedert 导师 Ben Green 指出。他特别强调，这类问题恰恰属于极难取得任何实质性突破的领域。
挑战 Erdős 原始结论
25 年后取得新突破
在 Erdős 原始结论沉寂 25 年后，数学家们终于开始取得微小的进展。1990 年，两位研究者证明：对于任意包含 N 个整数的集合，都存在一个至少包含 N/3 + 1/3 个元素的无和子集 —— 这个结果更常见的形式写作 (N+1)/3。
但由于集合大小必须是整数，这 1/3 的增量往往微不足道。
举例来说，若已知某个无和子集至少有 5/3 个元素，实际意味着其规模至少为 2（ 5/3 约为 1.67，要向上取整 ）。此时即使加上 1/3，结果仍为 2。「这很有趣，说明改进并不总是实质性的，」加州理工学院的 David Conlon 解释道，「只有当 N 能被 3 整除时，这个增量才会真正提升结果。」
1997 年，数学传奇 Jean Bourgain 将这一界限小幅提升至 (N + 2)/3。这个看似微不足道的进展背后，却隐藏着惊人的突破 ——Bourgain 在论文中埋下了一个关键思想：如何证明最大无和子集的规模可以任意超越该界限。只是他未能完善细节，将其转化为完整证明。
Jean Bourgain
Bourgain 运用了一个称为 Littlewood 范数的度量工具，该工具能刻画集合的结构特征。这个源自傅里叶分析领域的工具具有显著特性：当集合呈现随机性时取值较大，而呈现规律性结构时取值较小。
Bourgain 证明：对于包含 N 个元素的集合，若其 Littlewood 范数较大，则必然存在规模远超 N/3 的无和子集。但他在处理 Littlewood 范数较小的集合时遭遇了瓶颈。
而这个困境恰恰凸显了该问题的极端难度。
最终 Bourgain 不得不改用其他论证方法才得出了 (N + 2)/3 的界限。但数学家们从中读出了更深层的启示：Littlewood 范数或许能彻底解决这个猜想 —— 关键在于如何攻克小范数集合的处理难题。
数学家们有理由保持乐观：他们早已发现一类具有小 Littlewood 范数却包含巨大无和子集的集合 —— 等差数列（如 {5,10,15,20} 这类间距均匀的数字序列）。学界推测，任何小范数集合都具有某种特定结构，本质上都是由多个等差数列组合而成。若能证实这一点，就能利用该特性证明所有小范数集合都存在大型无和子集。
然而这项任务异常艰巨。「我确实尝试过用 Bourgain 的思路来证明无和集猜想，」Green 坦言，「但我们对小 Littlewood 范数集合的结构认知仍然有限。凡是涉及 Littlewood 的问题都极为棘手。」
尽管数学家们始终相信 Bourgain 基于 Littlewood 范数的策略，但进展始终停滞不前。二十余年光阴流逝，直到 2021 年秋天，Benjamin Bedert 开始了他的研究生生涯。
挑战无和集猜想
师从 Green 的 Bedert 注定会与无和集猜想相遇 —— 在 Bedert 教授官网列出的 100 个开放问题中，这个猜想高居榜首。
地址：https://people.maths.ox.ac.uk/greenbj/papers/open-problems.pdf
刚入学时浏览这份清单的 Bedert ，最初对这个难题望而却步。「我当时觉得这问题太难了，根本不想考虑，」他回忆道，「打算留到以后再说。」
但这个以后比预期来得更早。2024 年夏季，已取得阶段性成果的 Bedert 决定挑战更高风险的研究：博士期间我已经证明了几个不错的结果，基本凑够了毕业论文。于是开始考虑这些… 怎么说呢… 更「臭名昭著」的难题。
在研读 Bourgain 1997 年的论文后，Bedert 开始构思如何实现 Littlewood 范数的理论蓝图。几乎立刻，他就对处理小 Littlewood 范数集合问题萌生了新思路。
此前数学界始终难以证明：具有小 Littlewood 范数的集合必定呈现等差数列组合的特征。但 Bedert 认为可以转而证明一个更易实现的观点 —— 即便这类集合并非严格由等差数列构成，它们仍具有某些关键的类等差数列特性。
在近期研究中，Bedert 发现了一个值得深入研究的特性：等差数列中存在大量具有相同和值的数字组合。例如在偶数集（一种等差数列）中，4+8 的和既等于 2+10，也等于 2+4+6。他推测，或许只需证明具有小 Littlewood 范数的集合都满足这一特性就足够了。
短短数周内，Bedert 便成功验证了这个特性。但他随即意识到还有大量工作亟待完成。
灵光乍现
破解 60 年无和集猜想
首先，Bedert 证明了任何具有小 Littlewood 范数的集合都可以映射到另一个与等差数列更为相似的集合。他推测，正是在这些新集合中，能够找到大型的无和子集。
最后的任务是证明这类无和子集的规模。整个圣诞假期，Bedert 都在痴迷地思考这个问题，直到新年，他依然没能找到拼图的最后一块。
然而，就在一月份返回牛津几天后，他突然灵光乍现：「我也不清楚灵感从何而来，或许这些想法在脑海中酝酿已久，最终水到渠成。」
Bedert 运用傅里叶变换工具来表征集合结构，随后改进了一项 1981 年的证明方法，成功揭示该表征中的某些独立成分必然具有较大的 Littlewood 范数。由于 Bourgain 早已攻克大范数集合的处理方法，这一发现最终补全了证明链条。
最后，Bedert 证明：对于任意包含 N 个整数的集合，都存在一个至少包含 N/3 + log (log N) 个元素的无和子集。对于大多数 N 值而言，这个结果仅比 Erdős 提出的 N/3 平均值略大 —— 即便 N 大至 10^100，log (log N) 也仅约为 5。但随着 N 趋近无穷大，Bedert 和 Erdős 的界限之差也会增大 —— 从而解决了猜想。
关于无和子集 —— 以及加法如何影响整数结构 —— 仍有许多未解之谜。虽然 Bedert 的结果解答了最大无和子集是否会无限大于 N/3 这一问题，但数学家们尚不清楚这种偏差的具体增长速度。根据 Green 与两位同事 2014 年的论文，已知这种偏差的增长速度慢于 N。但 Green 指出：在 N 这个上限与 Bedert 提出的 log (log N) 下限之间，仍存在巨大鸿沟。
这项研究还为小 Littlewood 范数集合提供了全新认知。这类集合是分析学中的基础对象，却极难研究。Bedert 的成果帮助数学家更深入理解了其结构特征 ——Green 等学者正计划就此展开进一步探索。
结论简单明了：天才少年攻克古老难题。他所基于的理论精妙深奥，最终成果堪称完美。
（文：机器之心）