作者： Joseph Howlett
机器之心编译
三百多年前，数学家费马在书页边缘留下了一个看似简单却困扰了学者几个世纪的难题——费马大定理。
1994 年，Andrew Wiles 的实际性证明为这个传奇故事画上了句号。然而，故事并未就此结束。
那场伟大证明的真正遗产，并非仅仅是攻克了一道难题，而是揭示了不同数学世界之间一条深刻的「地下通道」——模块化定理。这个定理证明了相对简单的「椭圆曲线」总能与一种叫做「模形式」的对象一一对应。
最近，数学界再次掀起风浪，这条「地下通道」竟然迎来了 pro max 版升级。四位数学家将这种对应关系，从一维的椭圆曲线，延伸到了结构复杂得多的高维对象——「阿贝尔曲面」上。
这一飞跃意义非凡，它朝着实现数学领域的「大一统理论」（即朗兰兹纲领）迈出了革命性的一步，为解决更多悬而未决的数论难题提供了前所未有的强大工具。
让我们一起跟随量子杂志的脚步，开启这场奇妙的数学之旅。
从费马大定理到数学统一之梦
1994 年，数学界发生了一场「大地震」。
数学家 Andrew Wiles 终于攻克了费马大定理 (Fermat’s Last Theorem)，这个数论领域的核心难题已经悬而未决超过三个世纪。这一证明不仅让数学家们激动不已，甚至登上了《纽约时报》的头版。
作为数论中一个著名的猜想，费马定理由法国数学家皮埃尔·德·费马在 1637 年提出。它的核心内容非常得简单，却困扰了数学家超过 350 年。定理陈述如下：
为了攻克这一猜想，Wiles 在另一位数学家 Richard Taylor 的协助下，首先必须证明一个更为精妙的关键命题。这个中间命题的意义，远远超出了解决猜想的本身。
这个关键的证明在于揭示：一种重要的数学方程（即椭圆曲线）总是能与一种截然不同的数学对象（即模形式）紧密关联起来。Wiles 和 Taylor 本质上打开了一扇连接不同数学领域的「传送门」。他们揭示出，这两个领域就像彼此扭曲的镜像。
这就为数学家们提供了一种强大的研究方法：如果想要理解椭圆曲线的某个性质，他们可以进入模形式的世界，找到并研究其对应的「镜像」对象，然后再将得出的结论带回到椭圆曲线的领域。
这种世界之间的联系被称为「模性」（Modularity），不仅是证明费马大定理的工具，它更成为数学家攻克其他难题的万能钥匙。
不仅如此，模性理论还是朗兰兹纲领 (Langlands Program) 的基石，这一宏大的猜想体系试图构建数学的「终极统一理论」。如果朗兰兹纲领成立，则各类数学方程（不限于椭圆曲线）都将与其「镜像世界」的对象绑定。数学家们能自由穿梭于不同数学领域，通过镜像转化解决更复杂的问题。
尽管证明模性对应关系极其艰难，甚至被视为「不可能任务」。但在今年 2 月，四位数学家联手实现了突破。他们将模性理论从椭圆曲线（一维方程）拓展到阿贝尔曲面（二维复杂方程）。
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论文标题：Modularity theorems for abelian surfaces -
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2502.20645
团队成员分别为芝加哥大学的 Frank Calegari、伦敦帝国理工学院的 George Boxer 和 Toby Gee 以及法国国家科研中心的 Vincent Pilloni。他们证明了一大类阿贝尔曲面必然存在对应的模形式。
从左到右分别为 Toby Gee、Frank Calegari 和 Vincent Pilloni。
伦敦帝国理工学院数学家 Ana Caraiani 对此兴奋表示：「我们基本都相信这些猜想是对的，但亲眼见证它被证实——尤其是在一个曾被认为遥不可及的领域——实在令人震撼！」
这只是长达数年探索的开始！这些数学家们的终极目标是证明所有类型的阿贝尔曲面都满足模性对应。正如当年椭圆曲线的模性证明催生了无数新研究方向，此次突破已能直接帮助解决许多悬而未决的难题。
挑战数学界的「禁区」
椭圆曲线是一种基础方程，仅含 x 和 y 两个变量。如果你将其解画成图像，会呈现看似简单的曲线。但是这些解之间存在极其丰富的复杂关联，并频繁现身于数论的核心难题中。
比如，数学界最棘手的未解之谜——贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（百万美元悬赏问题），它研究的正是椭圆曲线解的深层规律。
然而，直接研究椭圆曲线往往困难重重，数学家常需另辟蹊径。这就是模形式的用武之地。
作为数学分析领域的高度对称函数，模形式具有极强的对称性（如折叠变换后形态不变），实际运算时远比椭圆曲线容易处理。
乍看之下，椭圆曲线与模形式「风马牛不相及」。但 Wiles 和 Taylor 的证明揭示：每个椭圆曲线都对应一个特定模形式，二者共享关键数学基因。例如，描述椭圆曲线解的特征数集，会在其对应的模形式中重复出现。
因此，数学家们得以通过模形式这面「透视镜」，窥见椭圆曲线隐藏的奥秘。他们认为，上述对应关系仅是更普遍真理的一个特例，存在一个比椭圆曲线更广泛的数学对象类别。所有这些对象，都应在对称函数宇宙（如模形式所在的世界）中拥有「镜像伙伴」。这些正是朗兰兹纲领的核心主张。
椭圆曲线：仅含 x、y 两个变量，因而它的解可以画在二维平面上，呈现光滑曲线。如果增加第三个变量 z，解构成三维空间中的弯曲曲面。这种更复杂的对象被称为阿贝尔曲面，与椭圆曲线一样，它的解具有数学家想要了解的精妙数学结构。
阿贝尔曲面理应对应更复杂的模形式变体（如椭圆曲线的升级版镜像）。但是新增变量 z 使其构造难度暴增，解的求解如同在三维迷宫中寻路。证明其模性曾被视为「不可能任务」。
作者之一 Toby Gee 坦言，「这曾是学界刻意避开的禁区，因前人屡试屡败。」但是，他们四人想要尝试解决这一难题。
寻找一座桥梁
这四位数学家都参与了朗兰兹纲领的研究，他们希望能为「一个在现实生活中真正会出现的对象，而不是某些凭空捏造的怪东西」来证明其中一项猜想，Calegari 说道。
阿贝尔曲面不仅确实出现在现实生活中——当然，是数学家眼中的现实生活——而且，证明一个关于它们的模块化定理将会开启新的数学大门。「一旦你拥有了这个论断，你就能做很多若非如此便毫无可能的事情」，Calegari 说。
这几位数学家于 2016 年开始合作，希望能够复刻 Taylor 和 Wiles 在证明椭圆曲线时所遵循的步骤。但是，对于阿贝尔曲面而言，其中的每一步都远比之前复杂。
因此，他们将研究重点集中在一种更容易处理的特殊类型阿贝尔曲面——即「普通阿贝尔曲面」上。对于任何一个此类曲面，都有一组数字可以描述其解的结构。如果他们能证明同样这组数字也可以从一个模形式中推导出来，那么大功就告成了。这组数字将作为一个独特的标签，让他们能将每一个阿贝尔曲面与一个模形式配对。
问题在于，尽管为一个给定的阿贝尔曲面计算这些数字十分简单，数学家们却不知道如何构建一个带有完全相同标签的模形式。当要求如此严格时，模形式的构建就变得异常困难。「你所寻找的那些对象，你甚至不能确定它们是否存在」，Pilloni 说道。
作为替代方案，数学家们证明了，只需构建一个其数字能在更弱的意义上与阿贝尔曲面的数字相匹配的模形式就足够了。这个模形式的数字只需在所谓的「时钟算术」范畴内等价即可。
想象一个时钟：如果时针从 10 点开始，走过 4 个小时，它将指向 2 点。但时钟算术可以用任何数字来进行，而不仅仅是（像现实世界中的时钟那样）数字 12。
Boxer、Calegari、Gee 和 Pilloni 只需要证明，当他们使用一个以 3 为周期的时钟时，他们那两组数字是匹配的。这意味着，对于一个给定的阿贝尔曲面，数学家们在构建相关联的模形式时拥有了更大的灵活性。
但即便如此，这也被证明是太困难了。
后来，他们偶然发现了一批模形式的宝库，其对应的数字非常容易计算——只要他们根据一个以 2 为周期的时钟来定义这些数字。但是，阿贝尔曲面需要的是一个以 3 为周期的时钟。
数学家们对于如何大致地桥接这两个不同的时钟体系有了一些想法，但他们不知道如何使这种联系变得严丝合缝，以便在模形式的世界里为阿贝尔曲面找到一个真正的匹配。就在这时，一项新的数学成果出现了，而它恰好就是他们所需要的。
意外的援手
Lue Pan 在数论这个看似不同的领域的工作被证明是必不可少的。
2020 年，一位名叫 Lue Pan 的数论学家发表了一篇关于模形式的证明，起初看来与这四人组的问题并无关联。但他很快意识到，他所发展的技术有着惊人的相关性。「我当时完全没想到」，Pan 说道。
经过数年主要通过 Zoom 进行的定期会议，数学家们在化用 Pan 的技术方面开始取得进展，但主要的障碍依然存在。然后，在 2023 年夏天，Boxer、Gee 和 Pilloni 将德国波恩的一场会议视为一次完美的聚首机会。
Gee 为团队在 Hausdorff Research Institute 的地下室争取到了一间房间，在那里他们不太可能被过路的数学家打扰。他们在那里花了整整一周的时间研究 Pan 的定理，日复一日地工作 12 个小时，只是偶尔才到地面上来补充点咖啡因。「喝完咖啡后，我们总会开玩笑说，我们得『回到矿井』去了」，Pilloni 说。
辛苦的付出终有回报。「后来还有很多曲折」，Calegari 说，「但在那一周结束时，我认为我们或多或少已经搞定了。」
又花了一年半的时间，他们才将 Calegari 的信念转化为一篇长达 230 页的证明，并于今年 2 月将其发布在网上。他们将所有部分拼接在一起，证明了任何普通阿贝尔曲面都有一个与之相关联的模形式。
他们这个新的门户有朝一日可能会像 Taylor 和 Wiles 的结果一样强大，揭示出关于阿贝尔曲面的、超乎任何人想象的更多信息。但首先，团队必须将他们的结果扩展到非普通的阿贝尔曲面。他们已经与 Pan 合作，继续这场探索。「十年后，如果我们还没能找到它们中的绝大部分，我会感到很惊讶」，Gee 说。
这项工作也让数学家们得以提出新的猜想——例如 Birch and Swinnerton-Dyer 猜想的一个类比，其中涉及的是阿贝尔曲面而非椭圆曲线。「现在我们至少知道，对于这些普通曲面，这个类比是讲得通的」，麻省理工学院 (MIT) 的数学家 Andrew Sutherland 说。「在此之前，我们并不知道这一点。」
「由于这个定理，许多我曾梦想有一天能够证明的东西，现在都变得触手可及了」，他补充道。「它改变了一切。」
（文：机器之心）